class 12 math chapter 1 indefinite Integral 100 प्रश्नों का समाधान।Q. 1. ज्ञात करें [Find]
$$ \int \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx $$
हल:
$$ \int \frac{\sin^3 x + \cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx = \int \frac{\sin^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx + \int \frac{\cos^3 x}{\sin^2 x \cos^2 x} dx $$
$$ = \int \frac{\sin x}{\cos^2 x} dx + \int \frac{\cos x}{\sin^2 x} dx $$
$$ = \int (\tan x \sec x) dx + \int (\cot x \csc x) dx $$
$$ = \sec x - \csc x + C $$
Q.2: {समाकलन ज्ञात करें:}
$$ \int \frac{x^3 + 5x^2 - 4}{x^2} dx $$
उत्तर:
$$ \frac{x^2}{2} + 5x + \frac{4}{x} + C $$
चरण-दर-चरण समाधान:
दिए गए समाकलन को निम्न प्रकार से लिखा जा सकता है:
$$ \int \frac{x^3 + 5x^2 - 4}{x^2} dx $$
चरण 1: समाकल्य को अलग-अलग पदों में तोड़कर सरल बनाना (Dividing the numerator by the denominator)
$$ \int \left( \frac{x^3}{x^2} + \frac{5x^2}{x^2} - \frac{4}{x^2} \right) dx $$
घातांक नियम का उपयोग करके सरल करने पर:
$$ \int \left( x + 5 - 4x^{-2} \right) dx $$
चरण 2: समाकलन के नियम (Sum Rule and Power Rule) का उपयोग करना
हम जानते हैं:
$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \quad \text{और} \quad \int k dx = kx $$
{प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करने पर:}
$$ \int x \, dx + \int 5 \, dx - 4 \int x^{-2} \, dx $$
$$ \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + 5x - 4 \left( \frac{x^{-2+1}}{-2+1} \right) + C $$
{चरण 3: अंतिम उत्तर प्राप्त करना}
$$ \frac{x^2}{2} + 5x - 4 \left( \frac{x^{-1}}{-1} \right) + C $$
$$ \frac{x^2}{2} + 5x + 4x^{-1} + C $$
{अंतिम रूप में:}
$$ \frac{x^2}{2} + 5x + \frac{4}{x} + C $$
{जहाँ } C{ समाकलन स्थिरांक (Constant of Integration) है।}
Q.3: सिद्ध करें।
$$ \int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^4} dx = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} + C $$
{समाधान:}
{हम समाकलन को निम्न प्रकार से विभाजित करते हैं:}
$$ \int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^4} dx = \int \left( \frac{x^2}{x^4} - \frac{2x}{x^4} + \frac{3}{x^4} \right) dx $$
{घातांक नियम का उपयोग करके प्रत्येक पद को सरल करने पर:}
$$ \int \left( x^{2-4} - 2x^{1-4} + 3x^{-4} \right) dx $$
$$ \int \left( x^{-2} - 2x^{-3} + 3x^{-4} \right) dx $$
{शक्ति नियम } \left( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) \text{ का उपयोग करके समाकलन करने पर:}
$$ \frac{x^{-2+1}}{-2+1} - 2 \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + 3 \frac{x^{-4+1}}{-4+1} + C $$
$$ \frac{x^{-1}}{-1} - 2 \frac{x^{-2}}{-2} + 3 \frac{x^{-3}}{-3} + C $$
{पदों को सरल करने पर:}
$$ -x^{-1} + x^{-2} - x^{-3} + C $$
{इसे धनात्मक घातांकों के रूप में लिखने पर:}
$$ -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} + C $$
{अतः, यह सिद्ध होता है कि:}
$$ \int \frac{x^2 - 2x + 3}{x^4} dx = -\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} - \frac{1}{x^3} + C $$
Q.4: {समाकलन ज्ञात करें:}
$$ \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx $$
{समाधान:}}
{चरण 1: समाकल्य को सरल बनाना}
{हम } (a+b)² = a² + 2ab + b² { सूत्र का उपयोग करते हैं:}
$$ \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 = (\sqrt{x})^2 + 2(\sqrt{x})\left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 $$
$$ = x + 2(1) + \frac{1}{x} $$
$$ = x + 2 + x^{-1} $$
{चरण 2: समाकलन करना}
{समाकलन अब यह है:}
$$ \int \left( x + 2 + x^{-1} \right) dx $$
{प्रत्येक पद का अलग-अलग समाकलन करने पर:}
$$ \int x \, dx + \int 2 \, dx + \int x^{-1} \, dx $$
$$ \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + 2x + \log|x| + C $$
{अंतिम उत्तर:}
$$ \frac{x^2}{2} + 2x + \log|x| + C $$
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