CBSE Board class 11 physics ch-2 motion in a straight line

यह पाठ कक्षा 11 की भौतिकी के दूसरे अध्याय 'सरल रेखा में गति' पर आधारित है। इसमें दूरी, विस्थापन, औसत चाल और वेग जैसी बुनियादी अवधारणाओं को विस्तार से समझाया गया है। स्रोत में तात्क्षणिक वेग और त्वरण को समझने के लिए कलन गणित (Calculus) और ग्राफीय विधियों का उपयोग किया गया है। यहाँ समान त्वरण के लिए गति के महत्वपूर्ण समीकरणों को व्युत्पन्न किया गया है और उन्हें मुक्त पतन जैसे उदाहरणों से पुष्ट किया गया है। इसके अतिरिक्त, प्रतिक्रिया काल और अवरोधन दूरी जैसे व्यावहारिक विषयों पर भी चर्चा की गई है। अंत में, छात्रों के अभ्यास के लिए सारांश और विभिन्न संख्यात्मक प्रश्न दिए गए हैं।

पाठ में दिए गए हल सहित उदाहरणों (Examples) के उत्तर:

1. उदाहरण 2.1: यदि $x = a + bt^2$ (जहाँ $a = 8.5 m, b = 2.5 m s^{-2}$) है, तो $t = 0 s$ और $t = 2.0 s$ पर वेग तथा $t=2.0 s$ से $t=4.0 s$ के बीच औसत वेग क्या होगा?

उत्तर: अवकल गणित के अनुसार वेग $v = dx/dt = 2bt = 5.0t m s^{-1}$ होगा । $t = 0 s$ पर वेग $0 m s^{-1}$ और $t = 2.0 s$ पर वेग $10 m s^{-1}$ होगा । $t=2.0 s$ और $t=4.0 s$ के बीच औसत वेग $15 m s^{-1}$ होगा ।

2. उदाहरण 2.2: कलन-विधि (Calculus) का उपयोग कर एकसमान त्वरण के लिए शुद्धगतिक समीकरण प्राप्त करें।

उत्तर:

$v = v_0 + at$ (त्वरण $a = dv/dt$ के समाकलन से) ।

$x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$ (वेग $v = dx/dt$ के समाकलन से) ।

$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$ ($v \cdot dv = a \cdot dx$ के समाकलन से) ।

3. उदाहरण 2.3: एक बहुमंजिले भवन (25 m ऊँचाई) से 20 $m s^{-1}$ के वेग से गेंद ऊपर फेंकी गई। गेंद कितनी ऊपर जाएगी और धरती से टकराने में कितना समय लेगी? ($g = 10 m s^{-2}$)

उत्तर: $v^2 = v_0^2 + 2a(y - y_0)$ का उपयोग करने पर अधिकतम ऊँचाई $y = 45 m$ प्राप्त होती है । धरती से टकराने का कुल समय $y = y_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2$ से $t = 5 s$ प्राप्त होता है ।

4. उदाहरण 2.4: मुक्त पतन (Free fall) की गति का वर्णन करें।

उत्तर: मुक्त पतन में हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए त्वरण $a = -g = -9.8 m s^{-2}$ स्थिर रहता है । वेग $v = -9.8t$ और चली गई दूरी $y = -4.9t^2$ होती है ।

5. उदाहरण 2.5: गैलीलियो का विषम अंक संबंधित नियम सिद्ध करें।

उत्तर: विरामावस्था से गिरती वस्तु द्वारा समान समय अंतरालों ($\tau$) में तय की गई दूरियाँ $y = -\frac{1}{2}g\tau^2$ के अनुसार 1:3:5:7:9... के अनुपात में होती हैं ।

6. उदाहरण 2.6: वाहनों की अवरोधन दूरी (Stopping distance) का व्यंजक निकालें।

उत्तर: गति के समीकरण $v^2 = v_0^2 + 2ax$ में अंतिम वेग $v = 0$ रखने पर अवरोधन दूरी $d_s = \frac{-v_0^2}{2a}$ प्राप्त होती है, जो प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है ।

7. उदाहरण 2.7: प्रतिक्रिया काल (Reaction time) की गणना करें यदि रूलर द्वारा चली गई दूरी 21.0 cm है।

उत्तर: $d = \frac{1}{2}gt_r^2$ के अनुसार $t_r = \sqrt{2d/g}$ होता है । $d = 0.21 m$ रखने पर प्रतिक्रिया काल लगभग 0.2 s आता है ।

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पाठ के अभ्यास (Exercise) के कुछ प्रमुख प्रश्नों के उत्तर:

(नोट: अभ्यास के कुछ प्रश्न ग्राफ (चित्र 2.9 से 2.15) पर आधारित हैं, जिन्हें केवल पाठ्य सामग्री से स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता [11-15]। इसलिए नीचे केवल सैद्धांतिक और गणितीय प्रश्नों के उत्तर दिए गए हैं।)

प्रश्न 2.1: किन स्थितियों में वस्तु को बिंदु वस्तु माना जा सकता है?

उत्तर: (a) दो स्टेशनों के बीच चल रही रेलगाड़ी और (b) वृत्तीय पथ पर साइकिल चला रहे व्यक्ति पर बैठा बंदर, दोनों को बिंदु वस्तु माना जा सकता है क्योंकि इनके द्वारा तय की गई दूरी इनके आकार की तुलना में बहुत अधिक है । (c) फिरकती (Spinning) गेंद और (d) फिसलकर गिरे बीकर को बिंदु वस्तु नहीं माना जा सकता क्योंकि इनमें वस्तु का आकार गति के लिए महत्वपूर्ण है ।

प्रश्न 2.6: 126 $km h^{-1}$ से चल रही कार 200 m की दूरी पर रोक दी जाती है। कार का मंदन और रुकने का समय क्या है?

उत्तर: प्रारंभिक वेग $v_0 = 126 km h^{-1} = 35 m s^{-1}$ और अंतिम वेग $v = 0$ है ।

सूत्र $v^2 = v_0^2 + 2ax$ से मंदन $a = \frac{0 - (35)^2}{2 \times 200} = -3.06 m s^{-2}$ होगा ।

समय $t = \frac{v - v_0}{a} = \frac{0 - 35}{-3.06} = 11.4 s$ होगा ।

प्रश्न 2.8: सत्य/असत्य बताएँ (एकविमीय गति के लिए):

उत्तर:

(a) "किसी क्षण चाल शून्य होने पर भी त्वरण अशून्य हो सकता है।" - सत्य। जब किसी वस्तु को ऊपर फेंका जाता है, तो उच्चतम बिंदु पर चाल शून्य होती है लेकिन त्वरण गुरुत्वजनित ($9.8 m s^{-2}$) रहता है ।

(b) "चाल शून्य होने पर भी वेग अशून्य हो सकता है।" - असत्य। चाल वेग का ही परिमाण है, यदि चाल शून्य है तो वेग भी शून्य होगा ।

(d) "चाल अवश्य ही बढ़ती रहेगी यदि त्वरण धनात्मक हो।" - असत्य। यदि वेग ऋणात्मक दिशा में है और त्वरण धनात्मक है, तो चाल घटती जाएगी।

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पाँच वस्तुनिष्ठ प्रश्न (Multiple Choice Questions) उत्तर सहित:

प्रश्न 1: गतिमान वस्तु का तात्क्षणिक वेग किसके बराबर होता है जब उसके दो समयों के बीच का अंतराल ($\Delta t$) अनंतः सूक्ष्म ($\Delta t \to 0$) हो?

(A) औसत वेग

(B) त्वरण

(C) विस्थापन

(D) औसत चाल

उत्तर: (A) औसत वेग ।

प्रश्न 2: शून्य त्वरण (Zero acceleration) से गतिमान वस्तु के लिए स्थिति-समय (x-t) ग्राफ कैसा होता है?

(A) परवलय (Parabola)

(B) ऊपर की ओर वक्र

(C) नीचे की ओर वक्र

(D) एक सरल रेखा

उत्तर: (D) एक सरल रेखा ।

प्रश्न 3: किसी वेग-समय (v-t) ग्राफ के अंतर्गत आने वाला क्षेत्रफल क्या व्यक्त करता है?

(A) वस्तु का त्वरण

(B) वस्तु का विस्थापन

(C) तात्क्षणिक चाल

(D) पथ-लंबाई

उत्तर: (B) वस्तु का विस्थापन।

प्रश्न 4: गैलीलियो के विषम अंक संबंधित नियम के अनुसार, विरामावस्था से गिरती हुई वस्तु द्वारा समान समय अंतरालों में चली गई दूरियों का अनुपात क्या होता है?

(A) 1:2:3:4

(B) 1:3:5:7

(C) 1:4:9:16

(D) 2:4:6:8

उत्तर: (B) 1:3:5:7 ।

प्रश्न 5: वाहनों की 'अवरोधन दूरी' (Stopping distance) वाहन के प्रारंभिक वेग के साथ किस प्रकार संबंधित होती है?

(A) प्रारंभिक वेग के व्युत्क्रमानुपाती होती है

(B) प्रारंभिक वेग के बराबर होती है

(C) प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है

(D) प्रारंभिक वेग के घन के समानुपाती होती है

उत्तर: (C) प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है ।